Dans cette partie, nous allons étudier plus précisément le rôle du préfixe cyclique.

Le préfixe cyclique permet principalement d’éliminer les interférences qui pourraient provoquer des erreurs à la réception. Il existe deux types d’interférences :

• Interférences entre sous-porteuses (appelées ICI,  Inter Carrier Interferences)
• Interférences entre trames (appelées aussi abusivement interférences entre symboles, ISI, Inter Symbol Interferences). Une trame DMT contient N symboles, provenant des N canaux. A noter que ces symboles ne contiennent pas nécessairement le même nombre de bits (contrairement à l’OFDM).

                  1.  Interférences entre sous-porteuses

On éliminera ces interférences en imposant l’orthogonalité entre les sous-porteuses. L’orthogonalité est la propriété fondamentale qui permet de transmettre des signaux multiples sur une même ligne et de les détecter sans interférences.

Rappel mathématique: on définit l’orthogonalité de deux fonctions f et g sur un intervalle [a,b] par la relation suivante :

Cela signifie que f et g sont disjointes sur le segment [a,b].

Appliquons ce critère à notre système de transmission : on doit fixer la valeur des différentes fréquences de sous-porteuse pour éviter les recouvrements de spectres, c’est-à-dire pour que leurs spectres ne se recouvrent pas au moment de l’échantillonnage. Or on sait que, avant de leur appliquer une IFFT, nos N symboles sont « étagés » sur la durée d’une trame , sur chaque N sous-porteuses différentes. Cela revient à appliquer à la sous-porteuse une fenêtre de durée , dont l’enveloppe spectrale sera un sinus cardinal. Les N symboles sont au final en parallèle, et ceci sur la durée .

La question que l’on se pose maintenant est celle de l’écart qui doit être pris pour espacer les fréquences centrales  de chaque sous-porteuse, pour que celles-ci s’annulent aux instants où une d’entre elles est maximale (cf. représentation fréquentielle ci-dessous).

Enveloppes spectrales de sous porteuses

Considérons l’expression d'une sous-porteuse :

.

Montrons par un calcul rapide, que deux sous-porteuses consécutives sont orthogonales si et seulement si leurs fréquences sont écartées d’un facteur , c’est-à-dire si .

Prenons deux sous-porteuses k et k+1 ; vérifions que :

Or tous les termes vont s’annuler puisque le sinus en 0 et va s’annuler. L’égalité a bien été vérifiée.

On choisira donc  pour respecter l’orthogonalité entre sous-porteuses.

Cette condition permet non seulement d’éviter les interférences entre sous-porteuses, mais aussi d’avoir une occupation spectrale idéale (on ne peut en effet pas plus rapprocher les sous porteuses sans risquer une mauvaise interprétation des symboles envoyés).

                  2.  Interférences entre trames

Les interférences entre trames apparaissent sur le canal, c’est-à-dire au moment où les N symboles sont transmis en parallèle, sur les N sous-porteuses. Chaque symbole va subir sur sa porteuse des échos, inévitables dès le moment où l’on transmet un signal dans un canal non parfait. Mais ce phénomène va engendrer des interférences : les signaux vont se propager non seulement suivant un trajet direct, mais aussi suivant des trajets dits multiples, conséquence des échos ; le signal reçu sera la contribution de tous ces signaux. Les trajets multiples vont perturber les trames suivantes, c’est pourquoi l’insertion d’un intervalle de garde entres celles-ci va être indispensable. Cet intervalle de garde aura une durée Δ, supérieure au plus grand retard de tous les signaux issus des trajets multiples. Pour être précis il faut bien dire que cet intervalle de garde Δ est ajouté au début de chaque symbole.

Suite de trames séparées d’un préfixe cyclique Δ

Le problème en rajoutant un simple intervalle de garde Δ d’amplitude nulle se situe à la réception, au moment de la démodulation et de l’égalisation. En effet, les signaux ne sont alors plus périodiques, et le théorème de la convolution qui s’appliquait avant, ne s’applique plus.

Rappel du théorème de la convolution : 

h est la réponse impulsionnelle du canal. Dans ce théorème, l’opérateur requiert la périodicité du signal  pour être valide.

Il faut donc trouver une solution pour retrouver des signaux périodiques : une des idées est de faire un recopiage de la fin de chaque trame sur la durée de l’intervalle de garde. Δ s’appellera alors le préfixe cyclique.

Analysons ce qui se passe algébriquement dans le canal, sous hypothèse de périodicité: on émet un signal  et on reçoit un signal  après passage dans le canal. Ce signal  peut s’écrire comme :

, c’est-à-dire le signal x convolué par la réponse impulsionnelle h du canal numérisé.

Dans le domaine discret, on écrit les expressions de y et de la IFFT de x (où N est le nombre de canaux) :

 par définition du préfixe cyclique.

Le symbole estimé à la réception est :

La dernière somme vaut 1 lorsque i = l, 0 sinon. On peut donc remplacer les indices l par i dans le reste de l’expression, et on conclue donc :

L’égaliseur fréquentiel situé après la FFT à la réception sera alors très simple : il suffira de multiplier le signal reçu par  (où est l’estimée de la réponse impulsionnelle du canal).

                  3.  Insertion du préfixe cyclique

On ajoute le préfixe à l’émission après l’IFFT. Il est enlevé à la réception avant la FFT.

Synoptique de la transmission