Comme nous l’avons vu plus haut, ce qui distingue le procédé DMT du procédé OFDM est le système d’allocation des bits. Celui-ci va dépendre du rapport signal à bruit de chaque sous-canal. En effet, plus le rapport signal à bruit du sous-canal sera grand, moins le signal reçu sera déformé, on enverra donc plus de bits dans les sous-canaux qui ont un meilleur RSB. L’étude des caractéristiques du canal de propagation et du bruit est importante pour comprendre comment le signal reçu peut être modifié, mais aussi pour estimer les canaux. Cette estimation permettra également de fournir les coefficients du filtre d’égalisation.

Deux cas se présentent, celui d’un bruit stationnaire et celui d’un bruit non-stationnaire, mais dans le cadre de notre étude nous nous intéressons simplement au cas stationnaire.

Avant toute chose, intéressons nous à la façon dont nous avons modélisé la ligne.

1.      Modélisation de la ligne

Toute ligne a une réponse impulsionnelle h qui lui est propre. Dans le cadre de notre projet, nous avons choisi de modéliser une paire torsadée : la réponse impulsionnelle est donc exponentiellement décroissante. Nous devions veiller à rendre les coefficients de la réponse en temps quasiment nuls à partir du v+1-ème (où v est la longueur du préfixe cyclique) : en effet, pour une réponse de longueur supérieure ou égale à v+1, des interférences entre symboles apparaissent et provoquent des erreurs en réception. Un moyen de simuler ces interférences était de dégrader les coefficients concernés.

La formule retenue en temps échantillonné est :  avec ,  tel que h(v+1) = ,  et  la période d’échantillonnage.

Le signal en sortie du modulateur sera convolué à cette réponse impulsionnelle.

Il nous reste à simuler le bruit n sur la ligne. C’est normalement un bruit coloré dont la densité spectrale diminue exponentiellement avec la fréquence. Nous pouvons l’approximer à un bruit blanc dans chaque bande de fréquences de porteuse.

N’ayant pas trouvé de solution satisfaisante pour implémenter le bruit de cette manière, nous avons simplement ajouté une composante de bruit blanc sur chaque échantillon du signal après la convolution par la fonction de transfert.

2.    Principe de l’estimation du canal

Un canal stationnaire est un canal dont les propriétés statistiques ne dépendent pas du temps. Il est donc caractérisé :

• par la présence d’un bruit stationnaire, qui est la somme des bruits colorés supposés blancs dans les bandes occupées par chaque sous-porteuse
• par un canal dont la réponse impulsionnelle est constante au cours du temps

Puisque nous traitons ici le cas du bruit stationnaire dans le canal, nous pouvons considérer qu’il ne varie ni brusquement ni intensément au cours du temps. Ainsi, l’estimation de la réponse fréquentielle pour chaque sous-porteuse peut se faire une seule fois lors de l’initialisation et sera conservée le temps de la connexion. Cette initialisation est une étape qui permet de connaître la réponse impulsionnelle du canal ainsi que le bruit estimé.

Une solution simple est de transmettre N_init trames de bits, modulées en QPSK, identiques et connues du récepteur. On peut faire varier N_init, mais les études montrent qu’à partir de 30 trames d’initialisation les résultats obtenus sont largement acceptables. Nous choisirons donc N_init=30. Cette valeur N_init a été choisie en considérant que le canal peut être « pseudo stationnaire ». Pour des valeurs plus grandes, le débit utile diminue et la précision apportée ne justifie pas les concessions faites sur la vitesse de transmission.

L’estimation d’un canal consiste donc à estimer son rapport signal à bruit. Rappelons que la qualité de cette estimation est importante pour appliquer l’algorithme de « water-pouring », qui permet d’optimiser l’allocation binaire.

Pour un signal filtré selon le schéma suivant,

nous savons à l’aide de la formule des interférences que la fonction d’autocorrélation du signal de sortie R_YY est fonction de celle du signal à l’entrée du filtre, ainsi que des réponses impulsionnelles temporelles du filtre.

Ainsi nous avons :  avec .

Par ailleurs, le théorème de Wiener-Kintchine-Einstein nous dit que la densité spectrale de puissance est la transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation.

Il vient donc à partir de la formule des interférences la formule suivante :  avec  et  respectivement les densités spectrales du signal de sortie et du signal d’entrée.

Enfin, nous avons le rapport signal à bruit RSB_k du k^ème sous-canal défini par : 

avec P_s la puissance du signal émis dans le k^ème sous-canal, P_b la puissance du bruit du k^ème sous-canal, et H_k le coefficient de la fonction de transfert du k^ème sous-canal.

Ainsi, nous comprenons que pour estimer le RSB de chaque porteuse, nous devons procéder par étapes. Dans une première étape, nous allons faire une estimation des coefficients  sur les 30 trames d’initialisation. L’estimation de ces coefficients sera une moyenne des coefficients trouvés pour chaque trame d’initialisation. Sachant que Y=H*D+N, nous avons la relation suivante :

 représente le symbole associé à un point de la constellation correspondant à la sous porteuse k et à la trame t, représente le symbole reçu.

Dans une deuxième étape, nous estimons les échantillons de bruit qui s’expriment en fonction des symboles émis dans la trame d’initialisation et de la fonction de transfert estimée précédemment. Et nous avons donc l’estimation du bruit de la sous porteuse k suivante :

Dans cette formule nous gardons les mêmes notations que précédemment.

3.     L’implémentation

Les N_init trames d’initialisation, connues du récepteur, une fois modulées 4-QAM, sont transmises dans le canal pour permettre au récepteur de calculer les coefficients  des fonctions de transfert des canaux ainsi que le bruit présent sur chaque canal et le RSB de ces canaux. Pour cela, nous avons simulé un canal qui s’approche le plus possible des conditions réelles d’une transmission ADSL.

Les puissances ont été calculées de façon très simple. En effet, nous savons que la puissance d’un signal X est donné par :  

or nous travaillons dans le cas stationnaire, alors nous avons l’espérance .

Nous avons décidé de créer trois vecteurs qui contiennent respectivement les valeurs des coefficients des fonctions de transfert des canaux, le bruit et le RSB de chaque canal. Ainsi, l’utilisation des données est simple et rapide. Les valeurs obtenues sont ensuite utilisées dans la fonction de répartition des bits, qui applique l’algorithme du « water pouring », pour l’allocation binaire.

4.    Tests sur l’évaluation des canaux

Il était important de vérifier la validité des résultats.

a.      Nombre de trames d’initialisation

Dans un premier temps, nous avons vérifié que 30 trames d’initialisation étaient suffisantes pour obtenir une évaluation correcte. Nous avons donc implémenté un test d’erreur pour différentes valeurs du nombre de trames d’initialisation :

Nous remarquons bien qu’à partir de 30 trames d’initialisation nous avons un taux d’erreur correct qui reste proche de 0.02. La valeur de 30 trames d’initialisation est donc suffisante.

b.      Réponses fréquentielles estimées

Dans un deuxième temps, nous avons comparé les réponses fréquentielles réelles et estimées pour différents cas. Pour cela, nous avons visualisé l’amplitude et la phase des réponses fréquentielles. Les courbes qui s’arrêtent à la fréquence 10⁵ correspondent aux courbes estimées. En effet, les réponses fréquentielles réelles sont obtenues pour toutes les fréquences à partir d’une réponse temporelle, et l’estimation des réponses fréquentielles est obtenue pour les seules fréquences des sous-porteuses. Ainsi, pour comparer les deux réponses, nous devons mettre ces valeurs obtenues à la même échelle.

Attention, les réponses estimées sont calculées à partir de la première fréquence porteuse f0 tandis que la réponse réelle a son spectre qui commence à 0. Les courbes sont donc mises à la même échelle de fréquence pour les tracés, par un décalage du tracé de l’estimée de f0 vers la droite.

1.       Cas sans bruit

Dans le cas sans bruit nous remarquons qu’il n’y a pas beaucoup d’erreurs à la réception. Dans le cas d’un canal idéal (h=1), nous avons l’estimée suivante :

Nous remarquons que les valeurs estimées sont très proches des valeurs réelles. Cela explique le taux d’erreur quasi-nul.

Dans le cas critique des interférences entre symboles, nous avons :

Nous remarquons donc que l’estimée a encore une fois la même allure que la courbe réelle.

En revanche, dans le cas du canal réel, nous avons une erreur d’estimée :

2.      Cas avec bruit

Dans le cas avec bruit, nous obtenons quelques erreurs en réception (en faible nombre cependant). Les estimations restent satisfaisantes, puisque l’estimée garde la même allure globale que les courbes réelles.

Avec le canal supposé parfait, nous obtenons :

Dans le cas critique des interférences entre symboles nous obtenons :

Et dans le cas du canal réel :

Pour conclure, nous pouvons manifestement adopter cette méthode d’évaluation des canaux par la suite : les résultats obtenus sont satisfaisants.