1.      La technique DMT et l’ADSL

DMT est une technique de modulation utilisée dans certaines technologies xDSL. C’est une forme de modulation multi-porteuses. Nous verrons plus tard en quoi consiste exactement cette technique.

Un signal DMT ADSL est composé en majeure partie d’un grand nombre de porteuses modulées indépendamment qui sont transmises au-delà du domaine fréquentiel normalement dédié à la parole. Voici le spectre de fréquence du signal :

Spectre fréquentiel de l’ADSL

Le spectre s’étend de 0 à 1.130MHZ et est divisé en 256 canaux de 4.3125kHz de large. Ceci équivaut à disposer de 256 modems synchronisés entre eux, se répartissant la transmission de données. La division de la bande passante en un ensemble de canaux indépendants est la clé de la performance obtenue par DMT : le nombre de bits alloués sur chaque sous-porteuse est fonction du rapport signal à bruit (RSB) correspondant, ce qui permet d’adapter le taux de charge de chaque canal en fonction de ses performances. Ainsi, on utilise des symboles de tailles différentes selon les canaux.

La norme ADSL prévoit de laisser libre la bande de fréquence entre 0 et 26kHz (canaux 1 à 6) : la bande entre 0 et 4kHz est utilisée pour la téléphonie analogique (POTS=Plain Old Telephone Service), tandis que la bande de 4kHz à 26kHz constitue une bande de garde.

Entre 26kHz et 134kHz (soit les canaux 7 à 31), on trouve la gamme de fréquences dédiées à l’upstream (données montantes). De 134kHz à 1.104MHz (soit les canaux 33 à 256), on trouve les fréquences dédiées au downstream (données descendantes).

Les canaux 16 et 64 sont des canaux pilotes qui ne participent pas au débit utile. De même que le canal 32, qui est réservé.

A chaque fréquence centrale d’un canal est associée une sous-porteuse.

2.    Description du procédé DMT

a.      Principes généraux des modulations multi-porteuses

Les techniques qu’on appelle multi-porteuses consistent à transmettre des données numériques en les modulant sur un grand nombre de porteuses en même temps. Ce sont des techniques de multiplexage en fréquence qui existent depuis longtemps. Le regain d’intérêt actuel réside dans l’amélioration apportée pour augmenter l’efficacité spectrale (en orthogonalisant les porteuses) : cela permet d’implémenter la modulation et la démodulation à l’aide de circuits performants de FFT (Fast Fourier Transform).

Actuellement, les deux techniques de transmission les plus utilisées sont l’OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) et sa variante DMT (Digital Multi Tone).

L’OFDM est un procédé de modulation qui consiste à répartir un train binaire à haut débit en N canaux orthogonaux à bas débit. Le terme modulation est un abus de langage : en effet, il s’agit de répartir l’information sur N sous-porteuses en bande de base, modulées selon un débit binaire constant. La modulation à proprement parler, qui permet d’adapter le signal autour de la fréquence centrale reste, quant à elle, identique à celle utilisée dans les chaînes de transmission numériques classiques (M-QAM).

b.      Spécificité de la DMT

La DMT, quant à elle, est semblable à l’OFDM à une différence près : chaque sous-porteuse est modulée QAM (Quadrature Amplitude Modulation) selon un débit binaire adaptatif qui dépend directement de la qualité du canal (une phase d’initialisation donne le RSB de chaque canal). La norme ADSL prévoit entre 0 bits (si le canal est trop mauvais) et 8 bits (modulation 256-QAM) par porteuse : plus le RSB d’un canal est élevé, plus l’indice de modulation QAM est élevé et donc plus le débit est élevé (puisque le nombre de bits alloué est plus important).

Nous verrons plus loin l’algorithme qui implémente cette répartition des bits et qui fait toute la différence entre les deux procédés. Pour l’instant, nous nous contenterons de décrire le fonctionnement de l’OFDM.

c.      L’étape de modulation OFDM

Le modulateur OFDM

1.       Le codage QAM

Codage :

Nous allons utiliser la modulation QAM. Le schéma global rassemblant les étapes du mapping QAM est le suivant :

Le principe est le suivant : à partir de mots de k bits, on va former des symboles.

Les symboles seront représentés dans des constellations. Une constellation peut être de taille différente selon le nombre de bits par symbole voulu. En effet, une constellation représente tous les états possibles de ces symboles. Ainsi, si nous voulons des symboles de k bits (k entier), nous aurons symboles possibles, donc M points dans la constellation.

Prenons par exemple la constellation 16-QAM :

Constellation 16-QAM

Soit un point quelconque de la constellation représentant un symbole, ses coordonnées réelle et imaginaire sont données respectivement par la projection de ce point sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.

Pour associer à chaque symbole un point de la constellation, un code de Gray est utilisé. Rappelons que la définition du code de Gray est : , avec  la valeur du k-ème poids du code de Gray et  la valeur du k-ème poids du code binaire.

Pour illustrer nous avons :

Ainsi pour créer une constellation, nous utilisons une base de code de Gray :

Base de code de Gray

Et le codage des symboles se fait donc en prenant comme convention « a₃a₂a₁a₀ » avec « a₃a₂ » codant le numéro de ligne, et « a₁a₀ » codant le numéro de colonne. C’est avec ces conventions que la figure 16-QAM a été construite. Le principe est identique pour des QAM d’ordre supérieur (32, 64, 128,…) : la base est construite sur deux vecteurs orthogonaux qui s’étendent sur l’intervalle  où Q est le premier carré parfait tel que Q > M.

Par ailleurs nous comprenons que l’utilisation du code de Gray permet de diminuer au maximum la probabilité d’erreurs lors du demapping. En effet, nous remarquons que chaque symbole de la constellation possède un seul bit de différence par rapport à ses voisins dans la constellation. Cela étant, nous minimisons le nombre de bits erronés en réception.

Il est facile de coder une suite de bits sous Matlab par la simple utilisation de la fonction qaskenco (utilisée au début du bloc de modulation), qui renvoie directement les coordonnées complexes des symboles entrés en paramètre. A l’inverse, la fonction qaskdeco (utilisée en fin du bloc de démodulation) prend en paramètres les coordonnées complexes des symboles et renvoie leur rang dans la constellation associée. Il ne reste plus qu’à reformer la suite de bits associée grâce à la fonction dec2bin.

Une fois les coordonnées complexes des symboles obtenues, on les envoie dans le module d’IFFT (Inverse Fast Fourier Transform).

2.      L’IFFT

Le principe de l’OFDM est la transmission en parallèle de N sous-porteuses modulées en M-QAM. Comme il est peu réaliste de concevoir un système avec un grand nombre d’oscillateurs, on va utiliser les propriétés de la FFT.

Rappelons avant de décrire les étapes de la modulation, que les N sous-porteuses sont orthogonales, c’est-à-dire :

 si  avec  et .

Chaque sous-porteuse va donc être modulée en M-QAM pendant une durée  :

 avec

 est le symbole associé à un point de la constellation M-QAM.

Comme toutes les sous-porteuses sont émises en parallèle, l’enveloppe complexe du signal OFDM peut s’écrire sur [0,] :

, sachant qu’on veut générer Re(s(t)).

Si on échantillonne le signal à , le signal s’écrira, à chaque instant t=n () :

s(n) est le symbole OFDM. L’ensemble  de ces symboles constituera la trame OFDM.

On s’aperçoit que s(n) est, au facteur N près, l’IFFT des symboles  où k fait référence à la k-ème sous-porteuse.

Rappel: l’IFFT qui associe aux symboles  () les symboles  () s’écrit

En introduisant les symboles modulés M-QAM à transmettre dans un module d’IFFT, on obtiendra en sortie la trame OFDM voulue. A la réception, il suffira de passer par un module de FFT pour restituer le message.

3.      Transformation complexe/réelle du signal OFDM

Le signal généré par le module d’IFFT est complexe et donc impossible à transmettre dans le canal tel quel. L’astuce utilisée en ADSL consiste ajouter à la séquence originale des N symboles  la séquence miroir des complexes conjugués de ces symboles. On crée ainsi une nouvelle séquence de symboles  :

 où  et

Une fois passée par le module d’IFFT, cette nouvelle suite de symboles génère une séquence de valeurs réelles. Voici la justification.

On applique tout d’abord l’IFFT sur la nouvelle suite de symboles :

On développe :

On peut remplacer les  par leur expression en  :

Posons .

Si on pose maintenant t=2N-k, alors, et en remplaçant dans  :

4.      Insertion du préfixe cyclique

Le comportement multi-trajets du canal va induire des retards et des déphasages (parfois du même ordre de grandeur qu’un temps symbole) sur les symboles transmis : ce sont les interférences entre symboles. Pour remédier à ce problème, on insère entre deux trames OFDM un intervalle de garde dont la durée doit être supérieure au retard maximum des signaux issus des trajets indirects : c’est le préfixe cyclique.

Le préfixe cyclique est la simple répétition de la fin de la trame OFDM sur laquelle on l’ajoute.

Nous traiterons la théorie du préfixe cyclique un peu plus tard.

d.      L’étape de démodulation

1.       Les étapes

Le démodulateur OFDM

On réalise ici les étapes inverses de la modulation :

• Suppression du préfixe cyclique
• FFT sur le signal obtenu
• Décodage QAM

Cependant, l’étape de démodulation comporte une étape en plus de la modulation : l’égalisation.

2.      L’égalisation

Lors de la transmission, le signal (en temps) modulé est convolué à la réponse impulsionnelle (en temps) du canal. En outre, le bruit du canal vient perturber le signal.

En notant s(t) le signal transmis, r(t) le signal reçu, n(t) le bruit et h(t) la réponse impulsionnelle du canal on a donc :

De la même manière, avec S(f), R(f), N(f) et H(f) les transformées de Fourier de s(t), r(t), n(t) et h(t) respectivement, on obtient :

Ces équations, valables sur des signaux continus, restent applicables à des signaux discrets si le nombre de symboles sur lesquels on effectue la transformée de Fourier est suffisamment important et si un des deux signaux convolués est périodique (pour que la convolution temporelle soit circulaire). C’est l’introduction du préfixe cyclique à l’étape de modulation qui permet de vérifier cette dernière propriété.

On supposera par la suite les interférences entre symboles et les interférences entre canaux complètement éliminées par l’introduction du préfixe cyclique.

Alors, le symbole  reçu après l’opération de FFT, qui correspond au symbole émis  sur la k-ème sous-porteuse, a pour expression :

Où  est la réponse fréquentielle du k-ème canal ().

Pour retrouver , il suffit donc d’introduire à la suite du module de FFT un égaliseur formé de N multiplieurs dont les coefficients seront donnés par la phase d’évaluation du canal lors de l’ouverture de la ligne. La méthode est décrite en détail plus loin. Le résultat est une évaluation de la réponse fréquentielle des canaux : .

L’égaliseur se réduit alors à un filtre inverse de  et les coefficients de l’égalisation sont donnés par :

,